対数のSDEについての便利な公式
公式
確率過程 \(\ln X(t)\) が確率微分方程式 \begin{eqnarray} d\ln X(t) = \mu (X(t), t) dt + \sigma (X(t), t) dW(t) \end{eqnarray} に従うとすると、\(X(t)\)は
\begin{eqnarray} \frac{dX(t)}{X(t)} = \left( \mu (X(t), t) + \frac{1}{2} \sigma^{2}(X(t), t) \right)dt + \sigma (X(t), t) dW(t) \end{eqnarray} に従う。 □
これを用いると対数価格から収益率の式が直ちに分かるので非常に便利で、木島[1]ではこの公式を使い倒している1。
この公式は多次元にも容易に拡張できる。\(W_{1}(t), W_{2}(t), \cdots, W_{n}(t) \) をそれぞれ独立な標準ブラウン運動として、\(\ln X(t)\)が
\begin{eqnarray} d\ln X(t) = \mu (X(t),t)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma _{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \end{eqnarray} に従うとする。\(\ln X(t) = Y(t)\) とおいて\(e^{Y(t)}\)を伊藤展開すると
\begin{eqnarray} dX(t) &=& d(e^{\ln X(t)}) = d(e^{Y(t)}) \\ &=& e^{Y(t)} dY(t) + \frac{1}{2} e^{Y(t)} (dY(t)) (dY(t)) \\ &=& X(t) \left(\mu (X(t),t)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma _{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \right) + \frac{1}{2} X(t) \left(\sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2} (X(t), t) dt\right) \end{eqnarray} \(W_{k}(t)\)たちは独立なのでクロスタームは全て0になる。というわけで
\begin{eqnarray} \frac{dX(t)}{X(t)} = \left( \mu(X(t), t) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2}(X(t), t) \right)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \end{eqnarray} が成り立つ。
参考文献
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というかこの本を見て知った。↩
