対称差の確率

久保川『現代数理統計学の基礎』(共立出版)の演習問題から。\( P {(A \varDelta B)} = P {(A \cup B)} - P {(A \cap B)} \)を示す。分配法則を使うだけ。

証明 \begin{align} A \varDelta B &= {( A \setminus B )} \cup {( B \setminus A )} \\ &= {( A \cap B^{c} )} \cup {( B \cap A^{c} )} \end{align}

および

\begin{align} {( A \cap B^{c} )} \cap {( B \cap A^{c} )} &= \emptyset,\\ {( A \cap B^{c} )} \cap {( A \cap B )} &= \emptyset,\\ {( B \cap A^{c} )} \cap {( A \cap B )} &= \emptyset \end{align}

が成り立つから

\begin{align} P {( A \varDelta B )} + P {( A \cap B )} &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup {( B \cap A^{c} )} \cup {( A \cap B )} )}\\ &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup B \cap {( A^{c} \cup A )} )}\\ &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup B )}\\ &= P {( {( A \cup B )} \cap {( B^{c} \cup B )} )}\\ &= P {( A \cup B )}. \end{align}

よって冒頭の式を得る。 まぁベン図見れば当たり前なんだけど……。