先物のデルタは1?
追記 （大量に誤っていたので全面的に訂正）
実は初？ファイナンス記事。
ショートストラングル(The Options Guide)について調べていたら「先物のデルタは1か-1」という記述を見かけた。オプショントレーダーにとっては常識かもしれないが、私はオプション取引などやったことないし、とりあえず計算して確認してみよう。
デルタとは
デルタ(wikipedia)とは原資産価格の変化に対するデリバティブ価格の変化率である。標準的なBlack-Scholesモデルを考えよう。市場には株式\(S(t)\)と安全資産\(B(t)\)が存在して、安全資産は\(dB(t) = rB(t)dt\)、株価はリスク中立確率(wikipedia)\(Q\)下で確率微分方程式
\begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{S(t)} = r dt + \sigma dW(t) \\ S(0) = S \end{cases} \end{equation}
に従うとすると、ヨーロピアン・コールオプションの（時点0での）価格は
\begin{equation} C = S N(d) - K e^{-rT} N(d - \sigma \sqrt{T}) \end{equation}
と与えられるというのがBlack-Scholesの公式であった。ここに
\begin{equation} d = \frac{\log{(S / K)} + (r + \sigma ^{2} / 2) T }{\sigma \sqrt{T}} \end{equation}
であり、\( N(\cdot) \)は標準正規分布の分布関数である。この場合デルタは
\begin{equation} \Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d) \end{equation}
となることが簡単に1わかる。
先物のデルタ
じゃあ先物だとどうかということで、村上[1]を参考に考えると、先物価格\(\mathrm{Fut}(t, T)\)は\(Q\)のもとで
\begin{equation} \mathrm{Fut}(t, T) = \mathbb{E}^{Q} \left[ S(T) \middle| \mathscr{F}_t \right] \end{equation}
であり、時点\(t\)でのデルタはそのときのスポット価格\(S(t)\)で微分してやればよいから
\begin{align} \Delta &= \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ S(T) \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ B(T) \frac{S(T)}{B(T)} \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= B(T) \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ \frac{S(T)}{B(T)} \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= e^{rT} \frac{\partial}{\partial S(t)} \frac{S(t)}{B(t)} \\ &= e^{r(T-t)}. \end{align}
はて、1とは一致しない結果が出てしまった。もう少し調べてみると、どうにもデルタが1になるのは先物ではなく先渡契約の価値であるようだ。 StackExchangeの投稿を引用すると、
Forward delta is 1 (defined as change in the value of the forward with respect to an instantaneous change in the price of the underlying, holding everything else constant).
However for a meaningful discussion of the differences in forward and futures pricing, the forward price delta of forwards should be considered and it is exp(r(T-t)).Though the delta of the two are identical the value of a portfolio holding a forward vs futures contract will change over time and here is why: The difference arises from the fact that interest rates are not constant but random and forwards are OTC products that are settled at maturity while futures are settled daily. This subtle difference leads to different cash flows because money that is deposited into your account or that you need to cough up because of daily margin settlements can be invested/must be borrowed at prevailing interest rates.
ということらしい。
先渡契約とは
先渡契約は、満期になったらあらかじめ約束した価格（先渡価格）で原資産を売買する契約である。先渡契約では、契約時点での契約の価値が0になるように先渡価格\(K\)を定める。時点\(t\)で結んだ満期\(T\)の先渡契約の価値を \begin{equation} V(t, T, K) = P(t, T) \mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)-K}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \end{equation}
と書くことにしよう。ただし\(\mathbb{E}^{T}\)は\(T-\)フォワード測度(wikipedia)のもとでの期待値を示し、\(P(t,T)\)は満期\(T\)の割引債である。 このとき\({S(T)}/{P(T, T)}\)はマルチンゲールなので、
\begin{align} V(t, T, K) &= P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)-K}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \\ &= P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] - P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{K}{P(T,T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \\ &= P(t, T) \frac{S(t)}{P(t, T)} - P(t, T) K \\ &= S(t) - P(t, T) K \end{align}
と計算できる。このとき先渡価格は\( K = \mathrm{Fwd}(t, T) = S(t) / {P(t, T)} \)と定められる。ここで時点\( s \,( < t) \)に結ばれた先渡契約を考えよう。この場合\( K = S(s) / P(s, T) \)だが、これは明らかに時点\(t\)の株価に依存していないので
\begin{align} \Delta &= \frac{\partial V}{\partial S(t)} \\ &= \frac{\partial}{\partial S(t)} ( S(t) - P(t, T) K ) \\ &= 1. \end{align}
結論
というわけで先物の（理論的）デルタは厳密には1と等しくならないことが確認できた。とはいえ金利\(r\)、あるいは満期までの残り時間\(T-t\)が十分小さいとみなせるならば、デルタは1と言ってもあながち間違いではないとは思う。
