無駄骨

順序統計量の最小値 \(X_{(1)}\) の分布関数 \(F_{(1)}(x)\) を導出したい。\(X_{(k)}\) の密度関数は \begin{eqnarray} \rho_{(k)}(x) = n \binom{n-1}{k-1} (1-F(x))^{n-k} F(x)^{k-1} \rho(x) \end{eqnarray} で与えられるから、\(k\)を代入して積分するだけなのだが、最小値は意味を考えると計算せずとも

\begin{eqnarray} F_{(1)}(x) = 1-(1-F(x))^n \end{eqnarray}

と分かる。上の式の意味は全部（\(n\)個）の\(X\)が\(x\)以上であることの余事象、つまり少なくとも1つが\(x\)以下となる確率だ。ところがこれに気づかないと、

\begin{eqnarray} F_{(1)}(x) &=& n \int^{x}_{-\infty} (1-F(y))^{n-1} \rho(y) dy \\ &=& n \int^x_{-\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-F(y))^k \rho(y) dy \\ &=& n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k \int^{x}_{-\infty} F(y)^{k} \rho(y) dy \\ &=& n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{F(x)^{k+1}}{k+1} \\ &=& (-1) \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1} (-F(x))^{k+1} \\ &=& (-1) \left\{1+ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} (-F(x))^{k}-1\right\} \\ &=& 1-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (-F(x))^k \\ &=& 1-(1-F(x))^n \end{eqnarray}

みたいになるので気をつけましょう（1敗）1。

  1. 30分くらいかかった。↩