一様分布と懐かしの因数分解

面白いと思ったので。
\(a<b \) として、確率変数 \(X\) が一様分布 \(U([a, b)) \) に従うとするとき、積率母関数は \begin{eqnarray} M_{X}(t) &=& \mathbf{E} [e^{tX}] \\ &=& \int_a^b e^{tx} \frac{1}{b-a} dx \\ &=& \frac{1}{b-a} \left[\frac{e^{tx}}{t}\right]^b_a \\ &=& \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \end{eqnarray}

である。じゃあモーメントを求めようというときに、導関数の分母に \(t\) が出るから \(t = 0\) とはできないので、大抵はここでロピタルの定理を使って \( t \to 0 \) などとする。しかし私は漸近展開を使うのが好きなので、 \( e^{tb} ,\ e^{ta} \) をそれぞれテイラー展開すると \begin{eqnarray} M_X (t) &=& \frac{1}{t(b-a)} \left\{ (1+tb+\frac{(tb)^2}{2!}+\frac{(tb)^3}{3!}+O(t^4)) - (1+ta+\frac{(ta)^2}{2!}+\frac{(ta)^3}{3!}+O(t^4)) \right\} \\ &=& \frac{1}{t(b-a)} \left\{ t(b-a)+\frac{t^2(b^2-a^2)}{2!}+\frac{t^3(b^3-a^3)}{3!}+O(t^4) \right\} \end{eqnarray}

となる。最後を見ると、\(t(b-a)\) で括ることができたらきれいに分母が消えてハッピーだが、ここで中学校か高校で習ったであろう有名な因数分解 \begin{eqnarray} a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray}

を思い出すと、先ほどのテイラー展開に現れたのはまさにこれではないか！よって \begin{eqnarray} M_X (t) = 1+\frac{t(a+b)}{2!}+\frac{t^2(a^2+ab+b^2)}{3!}+O(t^3) \end{eqnarray}

となって、ここから \( \mathbf{E} [X] = \frac{a+b}{2} \) や \( \mathrm{Var}[X] = \frac{(a-b)^2}{12} \) などが容易に得られる。
ほかにも漸近展開が効く例としては、指数分布 \( \rm{Exp}(\lambda) \) の積率母関数 \begin{eqnarray} M_X (t) &=& \int_0^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}} dx \\ &=& \frac{1}{1 - \lambda t}\ (\text{where}\ t < \frac{1}{\lambda}) \end{eqnarray} がある。微分するのはちょっと嫌だが、\(\lambda t < 1\) なので等比級数展開ができて \begin{eqnarray} M_X (t) = 1+\lambda t+\lambda^2 t^2+O(t^3) \end{eqnarray}

とはるかに簡単になってしまった。

ところではてなのMarkdown記法とMathJaxは食い合わせが悪いらしく、^などをエスケープしないといけないのを忘れていて時間を無駄にしたのでメモしておく。