対称差の確率
久保川『現代数理統計学の基礎』(共立出版)の演習問題から。\( P {(A \varDelta B)} = P {(A \cup B)} - P {(A \cap B)} \)を示す。分配法則を使うだけ。
証明 \begin{align} A \varDelta B &= {( A \setminus B )} \cup {( B \setminus A )} \\ &= {( A \cap B^{c} )} \cup {( B \cap A^{c} )} \end{align}
および
\begin{align} {( A \cap B^{c} )} \cap {( B \cap A^{c} )} &= \emptyset,\\ {( A \cap B^{c} )} \cap {( A \cap B )} &= \emptyset,\\ {( B \cap A^{c} )} \cap {( A \cap B )} &= \emptyset \end{align}
が成り立つから
\begin{align} P {( A \varDelta B )} + P {( A \cap B )} &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup {( B \cap A^{c} )} \cup {( A \cap B )} )}\\ &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup B \cap {( A^{c} \cup A )} )}\\ &= P {( {( A \cap B^{c} )} \cup B )}\\ &= P {( {( A \cup B )} \cap {( B^{c} \cup B )} )}\\ &= P {( A \cup B )}. \end{align}
よって冒頭の式を得る。 まぁベン図見れば当たり前なんだけど……。
先物のデルタは1?
追記 （大量に誤っていたので全面的に訂正）
実は初？ファイナンス記事。
ショートストラングル(The Options Guide)について調べていたら「先物のデルタは1か-1」という記述を見かけた。オプショントレーダーにとっては常識かもしれないが、私はオプション取引などやったことないし、とりあえず計算して確認してみよう。
デルタとは
デルタ(wikipedia)とは原資産価格の変化に対するデリバティブ価格の変化率である。標準的なBlack-Scholesモデルを考えよう。市場には株式\(S(t)\)と安全資産\(B(t)\)が存在して、安全資産は\(dB(t) = rB(t)dt\)、株価はリスク中立確率(wikipedia)\(Q\)下で確率微分方程式
\begin{equation} \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{S(t)} = r dt + \sigma dW(t) \\ S(0) = S \end{cases} \end{equation}
に従うとすると、ヨーロピアン・コールオプションの（時点0での）価格は
\begin{equation} C = S N(d) - K e^{-rT} N(d - \sigma \sqrt{T}) \end{equation}
と与えられるというのがBlack-Scholesの公式であった。ここに
\begin{equation} d = \frac{\log{(S / K)} + (r + \sigma ^{2} / 2) T }{\sigma \sqrt{T}} \end{equation}
であり、\( N(\cdot) \)は標準正規分布の分布関数である。この場合デルタは
\begin{equation} \Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d) \end{equation}
となることが簡単に1わかる。
先物のデルタ
じゃあ先物だとどうかということで、村上[1]を参考に考えると、先物価格\(\mathrm{Fut}(t, T)\)は\(Q\)のもとで
\begin{equation} \mathrm{Fut}(t, T) = \mathbb{E}^{Q} \left[ S(T) \middle| \mathscr{F}_t \right] \end{equation}
であり、時点\(t\)でのデルタはそのときのスポット価格\(S(t)\)で微分してやればよいから
\begin{align} \Delta &= \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ S(T) \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ B(T) \frac{S(T)}{B(T)} \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= B(T) \frac{\partial}{\partial S(t)} \mathbb{E}^{Q} \left[ \frac{S(T)}{B(T)} \middle| \mathscr{F}_{t} \right] \\ &= e^{rT} \frac{\partial}{\partial S(t)} \frac{S(t)}{B(t)} \\ &= e^{r(T-t)}. \end{align}
はて、1とは一致しない結果が出てしまった。もう少し調べてみると、どうにもデルタが1になるのは先物ではなく先渡契約の価値であるようだ。 StackExchangeの投稿を引用すると、
Forward delta is 1 (defined as change in the value of the forward with respect to an instantaneous change in the price of the underlying, holding everything else constant).
However for a meaningful discussion of the differences in forward and futures pricing, the forward price delta of forwards should be considered and it is exp(r(T-t)).Though the delta of the two are identical the value of a portfolio holding a forward vs futures contract will change over time and here is why: The difference arises from the fact that interest rates are not constant but random and forwards are OTC products that are settled at maturity while futures are settled daily. This subtle difference leads to different cash flows because money that is deposited into your account or that you need to cough up because of daily margin settlements can be invested/must be borrowed at prevailing interest rates.
ということらしい。
先渡契約とは
先渡契約は、満期になったらあらかじめ約束した価格（先渡価格）で原資産を売買する契約である。先渡契約では、契約時点での契約の価値が0になるように先渡価格\(K\)を定める。時点\(t\)で結んだ満期\(T\)の先渡契約の価値を \begin{equation} V(t, T, K) = P(t, T) \mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)-K}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \end{equation}
と書くことにしよう。ただし\(\mathbb{E}^{T}\)は\(T-\)フォワード測度(wikipedia)のもとでの期待値を示し、\(P(t,T)\)は満期\(T\)の割引債である。 このとき\({S(T)}/{P(T, T)}\)はマルチンゲールなので、
\begin{align} V(t, T, K) &= P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)-K}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \\ &= P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{S(T)}{P(T, T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] - P(t, T)\mathbb{E}^{T} \left[ \frac{K}{P(T,T)} \middle| \mathscr{F}_t \right] \\ &= P(t, T) \frac{S(t)}{P(t, T)} - P(t, T) K \\ &= S(t) - P(t, T) K \end{align}
と計算できる。このとき先渡価格は\( K = \mathrm{Fwd}(t, T) = S(t) / {P(t, T)} \)と定められる。ここで時点\( s \,( < t) \)に結ばれた先渡契約を考えよう。この場合\( K = S(s) / P(s, T) \)だが、これは明らかに時点\(t\)の株価に依存していないので
\begin{align} \Delta &= \frac{\partial V}{\partial S(t)} \\ &= \frac{\partial}{\partial S(t)} ( S(t) - P(t, T) K ) \\ &= 1. \end{align}
結論
というわけで先物の（理論的）デルタは厳密には1と等しくならないことが確認できた。とはいえ金利\(r\)、あるいは満期までの残り時間\(T-t\)が十分小さいとみなせるならば、デルタは1と言ってもあながち間違いではないとは思う。
参考文献
対数のSDEについての便利な公式
公式
確率過程 \(\ln X(t)\) が確率微分方程式 \begin{eqnarray} d\ln X(t) = \mu (X(t), t) dt + \sigma (X(t), t) dW(t) \end{eqnarray} に従うとすると、\(X(t)\)は
\begin{eqnarray} \frac{dX(t)}{X(t)} = \left( \mu (X(t), t) + \frac{1}{2} \sigma^{2}(X(t), t) \right)dt + \sigma (X(t), t) dW(t) \end{eqnarray} に従う。 □
これを用いると対数価格から収益率の式が直ちに分かるので非常に便利で、木島[1]ではこの公式を使い倒している1。
この公式は多次元にも容易に拡張できる。\(W_{1}(t), W_{2}(t), \cdots, W_{n}(t) \) をそれぞれ独立な標準ブラウン運動として、\(\ln X(t)\)が
\begin{eqnarray} d\ln X(t) = \mu (X(t),t)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma _{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \end{eqnarray} に従うとする。\(\ln X(t) = Y(t)\) とおいて\(e^{Y(t)}\)を伊藤展開すると
\begin{eqnarray} dX(t) &=& d(e^{\ln X(t)}) = d(e^{Y(t)}) \\ &=& e^{Y(t)} dY(t) + \frac{1}{2} e^{Y(t)} (dY(t)) (dY(t)) \\ &=& X(t) \left(\mu (X(t),t)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma _{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \right) + \frac{1}{2} X(t) \left(\sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2} (X(t), t) dt\right) \end{eqnarray} \(W_{k}(t)\)たちは独立なのでクロスタームは全て0になる。というわけで
\begin{eqnarray} \frac{dX(t)}{X(t)} = \left( \mu(X(t), t) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}^{2}(X(t), t) \right)dt + \sum_{k=1}^{n} \sigma_{k}(X(t), t) dW_{k}(t) \end{eqnarray} が成り立つ。
参考文献
-
というかこの本を見て知った。↩
無駄骨
順序統計量の最小値 \(X_{(1)}\) の分布関数 \(F_{(1)}(x)\) を導出したい。\(X_{(k)}\) の密度関数は \begin{eqnarray} \rho_{(k)}(x) = n \binom{n-1}{k-1} (1-F(x))^{n-k} F(x)^{k-1} \rho(x) \end{eqnarray} で与えられるから、\(k\)を代入して積分するだけなのだが、最小値は意味を考えると計算せずとも
\begin{eqnarray} F_{(1)}(x) = 1-(1-F(x))^n \end{eqnarray}
と分かる。上の式の意味は全部（\(n\)個）の\(X\)が\(x\)以上であることの余事象、つまり少なくとも1つが\(x\)以下となる確率だ。ところがこれに気づかないと、
\begin{eqnarray} F_{(1)}(x) &=& n \int^{x}_{-\infty} (1-F(y))^{n-1} \rho(y) dy \\ &=& n \int^x_{-\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-F(y))^k \rho(y) dy \\ &=& n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k \int^{x}_{-\infty} F(y)^{k} \rho(y) dy \\ &=& n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{F(x)^{k+1}}{k+1} \\ &=& (-1) \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1} (-F(x))^{k+1} \\ &=& (-1) \left\{1+ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} (-F(x))^{k}-1\right\} \\ &=& 1-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (-F(x))^k \\ &=& 1-(1-F(x))^n \end{eqnarray}
みたいになるので気をつけましょう（1敗）1。
-
30分くらいかかった。↩
一様分布と懐かしの因数分解
面白いと思ったので。
\(a<b \) として、確率変数 \(X\) が一様分布 \(U([a, b)) \) に従うとするとき、積率母関数は
\begin{eqnarray}
M_{X}(t) &=& \mathbf{E} [e^{tX}] \\
&=& \int_a^b e^{tx} \frac{1}{b-a} dx \\
&=& \frac{1}{b-a} \left[\frac{e^{tx}}{t}\right]^b_a \\
&=& \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
\end{eqnarray}
である。じゃあモーメントを求めようというときに、導関数の分母に \(t\) が出るから \(t = 0\) とはできないので、大抵はここでロピタルの定理を使って \( t \to 0 \) などとする。しかし私は漸近展開を使うのが好きなので、 \( e^{tb} ,\ e^{ta} \) をそれぞれテイラー展開すると \begin{eqnarray} M_X (t) &=& \frac{1}{t(b-a)} \left\{ (1+tb+\frac{(tb)^2}{2!}+\frac{(tb)^3}{3!}+O(t^4)) - (1+ta+\frac{(ta)^2}{2!}+\frac{(ta)^3}{3!}+O(t^4)) \right\} \\ &=& \frac{1}{t(b-a)} \left\{ t(b-a)+\frac{t^2(b^2-a^2)}{2!}+\frac{t^3(b^3-a^3)}{3!}+O(t^4) \right\} \end{eqnarray}
となる。最後を見ると、\(t(b-a)\) で括ることができたらきれいに分母が消えてハッピーだが、ここで中学校か高校で習ったであろう有名な因数分解 \begin{eqnarray} a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray}
を思い出すと、先ほどのテイラー展開に現れたのはまさにこれではないか！よって \begin{eqnarray} M_X (t) = 1+\frac{t(a+b)}{2!}+\frac{t^2(a^2+ab+b^2)}{3!}+O(t^3) \end{eqnarray}
となって、ここから \( \mathbf{E} [X] = \frac{a+b}{2} \) や \( \mathrm{Var}[X] = \frac{(a-b)^2}{12} \) などが容易に得られる。
ほかにも漸近展開が効く例としては、指数分布 \( \rm{Exp}(\lambda) \) の積率母関数
\begin{eqnarray}
M_X (t) &=& \int_0^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}} dx \\
&=& \frac{1}{1 - \lambda t}\ (\text{where}\ t < \frac{1}{\lambda})
\end{eqnarray}
がある。微分するのはちょっと嫌だが、\(\lambda t < 1\) なので等比級数展開ができて
\begin{eqnarray}
M_X (t) = 1+\lambda t+\lambda^2 t^2+O(t^3)
\end{eqnarray}
とはるかに簡単になってしまった。
ところではてなのMarkdown記法とMathJaxは食い合わせが悪いらしく、^などをエスケープしないといけないのを忘れていて時間を無駄にしたのでメモしておく。
